ŠĻą”±į>ž’ DRž’’’CX’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’č7é(€ąą€  Ņ ×^Ó ŗJPoincare model of Hyperbolic Geometry×XÓŗDGlobal model of Spherical Geometryņ/Č 0ŅÕL·DTimes New Romanp5ŗ|ŚdŚģ 0|ŚWo 0h¤ €`’’’’„ .©  @£n’ż?" dd@’’ļ’’’’’’  @@``€€ ōšģšx4V   µ  c š$ƒæĄ’€ń ’’™Ö“’f™’’’’’f’Ģ@ń’’’’’’÷šó€ŠéŗuģŹš;2NĶÉŹš;śgžż4AdAdģ 0pڦ’’’.’’’pūppū@ <ż4!d!d® 0,Ž\6ŗ<ż4dddd® 0,Ž\6ŗ’ <ż4BdBdœŚ. 0,ŽˆfŠ^ŗ___PPT9‹@äÓ äÓ?Ł Ś%šŚ óŸØ&Non-Euclidean Geometry M. Lindahl”4'6óŸØNon-Euclidean Geometry”Ÿ <Objectives 1. To question Euclid s Parallel Postulate 2. To examine the properties of Spherical Geometry 3. To examine the properties of Hyperbolic Geometry”$Ÿ ”óŸ 6Euclid s Parallel Postulate”ó  óŸØNew geometries arise”ŸØ™There are TWO possibilities: EITHER (1) there are no parallel lines through the point, OR (2) there are more than one parallel line through the point.”ššóŸØ"Possibility #1: Spherical Geometry”##ŸØŻThere are no parallel lines. A point lies on the surface of a Euclidean sphere. A line is an arc of a great circle whose center is the center of the sphere. The sum of the angles of a triangle is greater than 180 degrees.”0Ž ŅóŸØ#Possibility #2: Hyperbolic Geometry”$$ŸØMore than one line can be drawn through a point parallel to a line. A point lies on the interior of a Euclidean circle (Poincare Model). A line is represented as a circle orthogonal (90 degrees) to a Euclidean circle. The sum of the angles of a triangle is less than 180 degrees.”&Z  Ŗx˜ó ŸØ!Properties of Spherical Geometry”""Ÿ ŚLet s take a look at some of the unique properties of Spherical Geometry. Global model of Spherical Geometry”2J$6 /ņó° 0ßKmó ŸØ"Properties of Hyperbolic GeometryŸØThe differences between Euclidean and Hyperbolic Geometry are difficult to describe and are better seen: Poincare model of Hyperbolic Geometry”: ’’’ž `Ŗ"jņó ° 0ßjó ŸŖ ó  ŸØ&Applications of Non-Euclidean Geometry”'' ’žŸØ„Spherical Geometry Pilots and sailors use spherical geometry to navigate the Earth. Mapmakers use it to produce their projections. ”(…oĢž Ÿ  Hyperbolic Geometry Einstein s theory of General Relativity makes use of hyperbolic geometry to describe the curvature of space-time.” †r’fžźų–ļ `š ’’’’’’’™’’’–––`š ’’’€€€Ģ™33ĢĢĢ’²²²`š ’’’333ŻŻŻ€€€MMMźźź`š ’’Ģff3€€3™3€3Ģ’Ģf`š ’’’€€€’Ģf’ĢĢĄĄĄ`š ’’’€€€ĄĄĄf’’™`š ’’’€€€3™’™’ĢĢ̲²²£>’ż?" dd@’’ļ’’’’’’,£|’ż?" ddŲ@’’ļ’’’’’’ € Ō €" Š@€ š`€»€ £n’ż?" dd@’’ļ’’’’’’   @@``€€P£R    @ ` €`£ p£>€£> ŠšČššfš( š ššŅ š “ š6€œkŗ‡ƒæĄ’ š€°ŠPšĆ ŗ šTŸØ Click to edit Master title style¢!Ŗ !š š ƒ š0€LnŗƒæĄ’ šą°ŠšĆ ŗ šžŸØRClick to edit Master text styles Second level Third level Fourth level Fifth level¢!    Ŗ Sš¶ š ƒ š0€`rŗƒæĄ’ š`°`€šĆ ŗ š>Ÿ *”ųšø š ƒ š0€ŌwŗƒæĄ’ š`°Š€šĆ  ŗ š@Ÿ *”śšø š ƒ š0€Ø|ŗƒæĄ’ š` Š€šĆ ŗ š@Ÿ *”ŲšB š s š*™Ģ’“ŽŸ‹”޽hæ’ ?š ’’’€€€Ģ™33ĢĢĢ’²²² ŗDefault Designījļ € š0š šŖš( š š šr š S š€Lōŗæ’šŠ€  šĆ  ŗ š žšH š ƒ š0ƒ“ŽŸ‹”޽hæ’ ?š ’’’€€€Ģ™33ĢĢĢ’²²²īäļ € ”šŒ@šš$š( š ššr š S š€ ,…æ’š€°ŠPšĆ  … š žšr š S š€Č,…æ’šą°ŠšĆ … š žšH š ƒ š0ƒ“ŽŸ‹”޽hæ’ ?š ’’’€€€Ģ™33ĢĢĢ’²²²ī¼ļ € lšdPššüš( š ššr š S š€1…æ’š€°ŠPšĆ  … š žšä¢ š ƒ š0€@3…æƒæĄ’š€ąR š„Ÿ 2If there is a line and a point not on the line, then there exists exactly one line through the point that is parallel to the given line. Mathematicians of the 19th century decided to challenge this postulate. What are the consequences of invalidating Euclid s Parallel Postulate?”6¢  v š^ š “ š6…‡ƒæĄ’f™ĖŸo’šą0€ššH š ƒ š0ƒ“ŽŸ‹”޽hæ’ ?š ’’’€€€Ģ™33ĢĢĢ’²²²ī‘ļ€ Aš9Ąš4šćš( š š4šXB š4 ƒ š0DæĄŠŃ’š@ Š@ šXB š4 ƒ š0DæĄŠŃ’š€Š€šu¢ š4 ƒ š0€ˆß{æƒæĄ’š`š ° € šŸØPš¢ š4 £ š<€t`{…‡æƒæĄ’š: VUZ  š1ŸØm”šÉ¢ š4 ƒ š0€,v{æƒæĄ’šąPš šiŸØ' Assuming that this is not the case,”&($֓ž$(֓žš6 š4 S šæ’ ?š ’’’€€€Ģ™33ĢĢĢ’²²²ī–ļ € Fš>`š šÖš( š š šr š S š€Č …æ’š€°ŠPšĆ  … š žšr š S š€„ …æ’šą°ŠšĆ … š žšŖ š £ š<€……‡ƒæĄ’’’šPŠ  š>Ÿ”f’3žŖ šH š ƒ š0ƒ“ŽŸ‹”޽hæ’ ?š ’’’€€€Ģ™33ĢĢĢ’²²²īŽļ € Žš†pšš$š( š ššr š S š€t…æ’š€°ŠPšĆ  … š žšr š S š€0…æ’šą°ŠšĆ … š žšB š s š*f’3“ŽŸ‹”޽hæ’ ?š ’’’€€€Ģ™33ĢĢĢ’²²²īŽļ € Žš†€šš$š( š ššr š S š€”…æ’š€°ŠPšĆ  … š žšr š S š€xW…æ’šą°ŠšĆ … š žšB š s š*’f™“ŽŸ‹”޽hæ’ ?š ’’’€€€Ģ™33ĢĢĢ’²²²īŽļ € Žš†š(š$š( š š(šr š( S š€$…æ’šŠPp šĆ  … š žšr š( S š€ą…æ’š@ą@šĆ … š žšB š( s š*f’3“ŽŸ‹”޽hæ’ ?š ’’’€€€Ģ™33ĢĢĢ’²²²īŽļ € Žš† š$š$š( š š$šr š$ S š€Ųāŗæ’š€°ŠPšĆ  ŗ š žšr š$ S š€€ćŗæ’špP šĆ ŗ š žšB š$ s š*’f™“ŽŸ‹”޽hæ’ ?š ’’’€€€Ģ™33ĢĢĢ’²²²ī7 ļ € ēšß š-“,š}š( š š,šEšr š°°Š š“, š#"ń*Ÿ Ć888888š°°ŠšČ š¢, £ š<€0ūŗæƒæĄ’?šżČ Š šTŸØ 180 degrees”  ¦ų @`€šĶ š”, £ š<€Äq…æƒæĄ’?š* Č ż šYŸØ Greater than”’fž¦ų @`€šŹ š , £ š<€Š{…æƒæĄ’?šV Č *  šVŸØ Less than”  Ģž¦ų @`€šÓ šŸ, £ š<€ˆ~…æƒæĄ’?šƒČ V  š_ŸØ Equal to”$  ’ž¦ų @`€šā šž, £ š<€”†…æƒæĄ’?š°Č ƒ šnŸØ&The sum of the angles of a triangle is”''¦ų @`€šĘ š, £ š<€L“…æƒæĄ’?šż ŠČ  šRŸ”Ŗ ¦ų @`€šĶ šœ, £ š<€4…æƒæĄ’?š*  żČ  šYŸØ Intersecting”’fž¦ų @`€šš š›, £ š<€Ÿ…æƒæĄ’?šV  * Č  š|ŸØ Ultraparallel”ĢžŖ ¦ų @`€šÓ šš, £ š<€x­…æƒæĄ’?šƒ V Č  š_ŸØ Parallel”$  ’ž¦ų @`€šč š™, £ š<€„g…æƒæĄ’?𰐠ƒČ  štŸØ,Two lines perpendicular to the same line are”--¦ų @`€šĻ š˜, £ š<€ˆµ…æƒæĄ’?šżXА  š[ŸØ Have finite length”¦ų @`€šÅ š—, £ š<€ŲƅæƒæĄ’?š* Xż  šQŸØ Does”’fž¦ų @`€šÉ š–, £ š<€ÄĢ…æƒæĄ’?šV X*   šUŸØ Does not”  Ģž¦ų @`€šÓ š•, £ š<€¼Ī…æƒæĄ’?šƒXV   š_ŸØ Does not”$  ’ž¦ų @`€šĆ š”, £ š<€TŽ…æƒæĄ’?š°Xƒ  šOŸØ A line”¦ų @`€šĆ š“, £ š<€`ä…æƒæĄ’?šż ŠX šOŸØ points”¦ų @`€šÄ š’, £ š<€„ķ…æƒæĄ’?š* żX šPŸØ Two”’fž¦ų @`€šÖ š‘, £ š<€xõ…æƒæĄ’?šV * X šbŸØ At most one”$  Ģž¦ų @`€šÖ š, £ š<€$#æƒæĄ’?šƒ V X šbŸØ At most one”$  ’ž¦ų @`€šŪ š, £ š<€\ #æƒæĄ’?š° ƒX šgŸØTwo distinct lines intersect in”  ¦ų @`€šą šŽ, £ š<€ø#æƒæĄ’?šżčŠ  šlŸØ Parallel to m”, ¦ų @`€šÉ š, £ š<€(#æƒæĄ’?š* čż  šUŸØ No lines”  ’fž¦ų @`€š× šŒ, £ š<€ų#æƒæĄ’?šV č*  šcŸØ At least two”$ Ģž¦ų @`€šÖ š‹, £ š<€+#æƒæĄ’?šƒčV  šbŸØ Exactly one”$  ’ž¦ų @`€š  šŠ, £ š<€”4#æƒæĄ’?š°čƒ  š—ŸØ9Given a line m and a point P not on the line, there exist”,: ,¦ų @`€šĘ š‰, £ š<€<<#æƒæĄ’?šż°Šč šRŸ”Ŗ ¦ų @`€šŚ šˆ, £ š<€4>#æƒæĄ’?š* °żč šfŸØ Spherical”* ’fž ’fž¦ų @`€š× š‡, £ š<€øN#æƒæĄ’?šV °* č šcŸØ Hyperbolic”&  Ģž¦ų @`€šŲ š†, £ š<€œW#æƒæĄ’?šƒ°V č šdŸØ Euclidean”&  ’ž¦ų @`€šĘ š…, £ š<€Œ_#æƒæĄ’?š°°ƒč šRŸ”Ŗ ¦ų @`€š`B š£, ƒ š0æĄĖŸo×’ ?æš°°Š°šZB š¤, s š*æĄĖœ1’ ?æš°čŠčšZB š„, s š*æĄĖœ1’ ?æš° Š šZB š¦, s š*æĄĖœ1’ ?æš°XŠXšZB š§, s š*æĄĖœ1’ ?æš° А šZB šØ, s š*æĄĖœ1’ ?æš°Č ŠČ š`B š©, ƒ š0æĄĖŸo×’ ?æš°Šš`B šŖ, ƒ š0æĄĖŸo×’ ?æš°°°šZB š«, s š*æĄĖœ1’ ?暃°ƒšZB š¬, s š*æĄĖœ1’ ?æšV °V šZB š­, s š*æĄĖœ1’ ?æš* °* šZB š®, s š*æĄĖœ1’ ?æšż°żš`B šÆ, ƒ š0æĄĖŸo×’ ?暊°ŠšB š, s š*“ŽŸ‹”޽hæ’ ?š ’’’€€€Ģ™33ĢĢĢ’²²²īŠļ € €šx°š0š"š( š š0šž š0 S š€ “…æ’š€°ŠPš<$ńD 0Ć  … š žšž š0 S š€„ś…æ’šą° š<$ń  0Ć … š žšž š0 S š€Š…æ’šąp Šš<$ń  0Ć … š žš6 š0 S š’’™æ’ ?š ’’’€€€Ģ™33ĢĢĢ’²²²r8Š?OŻ;6*,˜'č/.Ī1 R’#õķåT tčvé(€ąą€  Ņ ×^Ó ŗJPoincare model of Hyperbolic Geometry×X( ÕäOn-screen Show Archbishop Spalding High SchoolūĪY ķ  Times New RomanDefault Design'Non-Euclidean Geometry M. LindahlNon-Euclidean GeometryEuclid’s Parallel PostulatePowerPoint PresentationNew geometries arise#Possibility #1: Spherical Geometry$Possibility #2: Hyperbolic Geometry"Properties of Spherical Geometry#Properties of Hyperbolic GeometryPowerPoint Presentation'Applications of Non-Euclidean Geometry  Fonts UsedDesign Template Slide Titles  8@ _PID_HLINKSäAø-http://www.math.umn.edu/~garrett/a02/H2.html:http://cvu.strath.ac.uk/courseware/msc/jgraves/Shape.htmlö _Ą‘ćљōŗlindahlmlindahlm ’’’Dhttp://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Bolyai.htmlEhttp://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Riemann.html’Historical backgroundņ/Č 0ŅÕL·DTimes New Romanp5ŗ|ŚdŚģ 0|ŚWo 0¤ €`’’’’„ .©  @£n’ż?" dd@’’ļ’’’’’’  @@``€€ ōšģšx8V   µ c š$ƒæĄ’€ń ’’™Ö“’f™’’’’’f’Ģ@ń’’’’’’÷šó€Š ŗuģŹš;2NĶÉŹš;śgžż4AdAdģ 0pڦ’’’.’’’pūppū@ <ż4!d!d® 0,Ž\6ŗ<ż4dddd® 0,Ž\6ŗ’ <ż4BdBdœŚ. 0,Žˆ†Š~ŗ___PPT9‹`äÓ äÓäÓ?Ł Ś%šYóŸØ&Non-Euclidean Geometry M. Lindahl”4'6óŸØNon-Euclidean Geometry”Ÿ <Objectives 1. To question Euclid s Parallel Postulate 2. To examine the properties of Spherical Geometry 3. To examine the properties of Hyperbolic Geometry”$Ÿ ”óŸ 6Euclid s Parallel Postulate”ó  óŸØNew geometries arise”ŸØ™There are TWO possibilities: EITHER (1) there are no parallel lines through the point, OR (2) there are more than one parallel line through the point.”ššóŸØ"Possibility #1: Spherical Geometry”##ŸØŻThere are no parallel lines. A point lies on the surface of a Euclidean sphere. A line is an arc of a great circle whose center is the center of the sphere. The sum of the angles of a triangle is greater than 180 degrees.”0Ž ŅóŸØ#Possibility #2: Hyperbolic Geometry”$$ŸØMore than one line can be drawn through a point parallel to a line. A point lies on the interior of a Euclidean circle (Poincare Model). A line is represented as a circle orthogonal (90 degrees) to a Euclidean circle. The sum of the angles of a triangle is less than 180 degrees.”&Z  Ŗx˜ó ŸØ!Properties of Spherical Geometry”""Ÿ Let s take a look at some of the unique properties of Spherical Geometry. Historical background Global model of Spherical Geometry”2J96 Dņó° 0ß`‚ó ŸØ"Properties of Hyperbolic GeometryŸØ¤The differences between Euclidean and Hyperbolic Geometry are difficult to describe and are better seen: Historical background Poincare model of Hyperbolic Geometry”:„ ’’’ž uŖ2iņó° 0ßi~ņó ° 0ß¤ó ŸŖ ó  ŸØ&Applications of Non-Euclidean Geometry”'' ’žŸØ„Spherical Geometry Pilots and sailors use spherical geometry to navigate the Earth. Mapmakers use it to produce their projections. ”(…oĢž Ÿ  Hyperbolic Geometry Einstein s theory of General Relativity makes use of hyperbolic geometry to describe the curvature of space-time.” †r’fžźīŽļ € Žš†Pš$š$š( š š$šr š$ S š€Š‡…æ’š€°ŠPšĆ  … š žšr š$ S š€Œˆ…æ’špP šĆ … š žšB š$ s š*’f™“ŽŸ‹”޽hæ’ ?š ’’’€€€Ģ™33ĢĢĢ’²²²rÓl ÷€õķÆlŻ‚ tč²é(€ąą€  ^ ×^Ó ŗJPoincare model of Hyperbolic Geometry×XÓŗDGlobal model of Spherical Geometry×>Óŗ*Historical background×>Óŗ*Historical backgroundņ/Č 0ŅÕL·DTimes New Romanp5ŗ|ŚdŚģ 0|ŚWo 0¤ €`’’’’„ .©  @£n’ż?" dd@’’ļ’’’’’’  @@``€€ ōšģšx8V   µ c š$ƒæĄ’€ń ’’™Ö“’f™’’’’’f’Ģ@ń’’’’’’÷šó€Š)ŗuģŹš;2NĶÉŹš;śgžż4AdAdģ 0pڦ’’’.’’’pūppū@ <ż4!d!d® 0,Ž\6ŗ<ż4dddd® 0,Ž\6ŗ’ <ż4BdBdœŚ. 0,Žˆ¦Šžŗ___PPT9‹€äÓ äÓäÓäÓ?Ł Ś%š‰óŸØ&Non-Euclidean Geometry M. Lindahl”4'6óŸØNon-Euclidean Geometry”Ÿ <Objectives 1. To question Euclid s Parallel Postulate 2. To examine the properties of Spherical Geometry 3. To examine the properties of Hyperbolic Geometry”$Ÿ ”óŸ 6Euclid s Parallel Postulate”ó  óŸØNew geometries arise”ŸØ™There are TWO possibilities: EITHER (1) there are no parallel lines through the point, OR (2) there are more than one parallel line through the point.”ššóŸØ"Possibility #1: Spherical Geometry”##ŸØŻThere are no parallel lines. A point lies on the surface of a Euclidean sphere. A line is an arc of a great circle whose center is the center of the sphere. The sum of the angles of a triangle is greater than 180 degrees.”0Ž ŅóŸØ#Possibility #2: Hyperbolic Geometry”$$ŸØMore than one line can be drawn through a point parallel to a line. A point lies on the interior of a Euclidean circle (Poincare Model). A line is represented as a circle orthogonal (90 degrees) to a Euclidean circle. The sum of the angles of a triangle is less than 180 degrees.”&Z  Ŗx˜ó ŸØ!Properties of Spherical Geometry”""Ÿ Let s take a look at some of the unique properties of Spherical Geometry. Historical background Global model of Spherical Geometry”2J96 Dņó° 0ßJ_ņó° 0ß`‚ó ŸØ"Properties of Hyperbolic GeometryŸØ¤The differences between Euclidean and Hyperbolic Geometry are difficult to describe and are better seen: Historical background Poincare model of Hyperbolic Geometry”:„ ’’’ž uŖ2iņó° 0ßi~ņó ° 0ß¤ó ŸŖ ó  ŸØ&Applications of Non-Euclidean Geometry”'' ’žŸØ„Spherical Geometry Pilots and sailors use spherical geometry to navigate the Earth. Mapmakers use it to produce their projections. ”(…oĢž Ÿ  Hyperbolic Geometry Einstein s theory of General Relativity makes use of hyperbolic geometry to describe the curvature of space-time.” †r’fžźīŽļ € Ž  !"#$%&'()*F,-ž’’’/0123456789:;<=>?@ABWż’’’Ež’’’GHIJKLMNOPQ.ž’’’TUV+…ż’’’Z[\]^_`abcdefghijklmnopqrstuvwxyz{|}~€Root Entry’’’’’’’’d›Oφꪹ)čš-ēü3„ĆSCurrent User’’’’8SummaryInformation(’’’’’’’’’’’’“ōQPowerPoint Document(’’’’ūĪDocumentSummaryInformation8’’’’’’’’’’’’|Pictures’’’’’’’’’’’’Y:V’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’ÓŗDGlobal model of Spherical Geometryņ/Č 0ŅÕL·DTimes New Romanp5ŗ|ŚdŚģ 0|ŚWo 0¤ €`’’’’„ .©  @£n’ż?" dd@’’ļ’’’’’’  @@``€€ ōšģšx8V   µ c š$ƒæĄ’€ń ’’™Ö“’f™’’’’’f’Ģ@ń’’’’’’÷šó€ŠéŗuģŹš;2NĶÉŹš;śgžż4AdAdģ 0pڦ’’’.’’’pūppū@ <ż4!d!d® 0,Ž\6ŗ<ż4dddd® 0,Ž\6ŗ’ <ż4BdBdœŚ. 0,ŽˆfŠ^ŗ___PPT9‹@äÓ äÓ?Ł Ś%šóŸØ&Non-Euclidean Geometry M. Lindahl”4'6óŸØNon-Euclidean Geometry”Ÿ <Objectives 1. To question Euclid s Parallel Postulate 2. To examine the properties of Spherical Geometry 3. To examine the properties of Hyperbolic Geometry”$Ÿ ”óŸ 6Euclid s Parallel Postulate”ó  óŸØNew geometries arise”ŸØ™There are TWO possibilities: EITHER (1) there are no parallel lines through the point, OR (2) there are more than one parallel line through the point.”ššóŸØ"Possibility #1: Spherical Geometry”##ŸØŻThere are no parallel lines. A point lies on the surface of a Euclidean sphere. A line is an arc of a great circle whose center is the center of the sphere. The sum of the angles of a triangle is greater than 180 degrees.”0Ž ŅóŸØ#Possibility #2: Hyperbolic Geometry”$$ŸØMore than one line can be drawn through a point parallel to a line. A point lies on the interior of a Euclidean circle (Poincare Model). A line is represented as a circle orthogonal (90 degrees) to a Euclidean circle. The sum of the angles of a triangle is less than 180 degrees.”&Z  Ŗx˜ó ŸØ!Properties of Spherical Geometry”""Ÿ Let s take a look at some of the unique properties of Spherical Geometry. Historical background Global model of Spherical Geometry”2J96 Dņó° 0ß`‚ó ŸØ"Properties of Hyperbolic GeometryŸØ¤The differences between Euclidean and Hyperbolic Geometry are difficult to describe and are better seen: Historical background Poincare model of Hyperbolic Geometry”:„ ’’’ž uŖ"ņó ° 0ß¤ó ŸŖ ó  ŸØ&Applications of Non-Euclidean Geometry”'' ’žŸØ„Spherical Geometry Pilots and sailors use spherical geometry to navigate the Earth. Mapmakers use it to produce their projections. ”(…oĢž Ÿ  Hyperbolic Geometry Einstein s theory of General Relativity makes use of hyperbolic geometry to describe the curvature of space-time.” †r’fžźīŽļ € Žš†@š(š$š( š š(šr š( S š€„w…æ’šŠPp šĆ  … š žšr š( S š€x…æ’š@ą@šĆ … š žšB š( s š*f’3“ŽŸ‹”޽hæ’ ?š ’’’€€€Ģ™33ĢĢĢ’²²²īŽļ € Žš†Pš$š$š( š š$šr š$ S š€Š‡…æ’š€°ŠPšĆ  … š žšr š$ S š€Œˆ…æ’špP šĆ … š žšB š$ s š*’f™“ŽŸ‹”޽hæ’ ?š ’’’€€€Ģ™33ĢĢĢ’²²²rIU ­jĒhõķ%U“l tčé(€ąą€   ×^Ó ŗJPoincare model of Hyperbolic Geometry×XÓŗDGlobal model of Spherical Geometry×>Óŗ*ž’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’ !"#$%&'()*+,-./02’’’’34567ž’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’ö _Ą‘ć×Īōŗlindahlmlindahlm`hˆœ °¼ Ü č ōäNon-Euclidean Geometry lindahlmdea lindahlmdea46dMicrosoft PowerPointy@pĄx~K@ #Ņ¢Ć@üM‚3„ĆŒG“P’’’’‰g  Ś"&’’’’ĄŠ &’’’’&#’’’’TNPP,ŗ2’’OMi & TNPPō &’’’’&TNPP   ŠĄ ü™Ģ’-ś-- !šŠĄ-ü’’’-šś-&’’’’GĮ&’’’’ūņhõw@h ¾bõwĒbõw0- &’’’’GyĮ&’’’’ ü--qqų@-- ūø’@Times New Roman¾bõwĒbõw0-š ’’’. 2 åfNon 4#$. ’’’. 2 åį-. ’’’."2 åłEuclidean Geometry,$ % $5 $8#.ś’’’--ļgļJ-ü’’’- ’’’ņLķfūÅ’@Times New Roman¾bõwĒbõw0-š ’’’ļJ.2 »ä M. Lindahl4#.--ššū¼"System 0-š&TNPP &’’’’ž’ÕĶ՜.“—+,ł®DÕĶ՜.“—+,ł®|8ˆØŠŲąč š ų   š†@š(š$š( š š(šr š( S š€„w…æ’šŠPp šĆ  … š žšr š( S š€x…æ’š@ą@šĆ … š žšB š( s š*f’3“ŽŸ‹”޽hæ’ ?š ’’’€€€Ģ™33ĢĢĢ’²²²rƒ ӗõķõ‚¹™ tč>遂ƒ„ž’’’†‡ˆ‰Š‹ŒŽ‘’¼”•–—˜™š›œžŸ ”¢£¤„¦§Ø©Ŗ«¬­®Æ°±²³“µ¶·ø¹ŗ»ž’’’½¾æĄĮĀĆÄÅĘĒČž’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’`!šA@śƒ/uRó†×e®b„ķ6bęū’’ ś’’ ”ˆˆpķ,@žxڬ¼˜ɲ‘•upwwwkÜŻŻŻŻuÜŻwwwww‡AŖ2#6Næ7wļīćķ²Ėe¾²*52<ŗO„pN‚laą‹łē "ØEg~š)¢źš1u˜0ņdĀżÓ‚Lņ"+ĮSšÆÉ’{C[‘ž{†:ŹĢ’š”ąævčR·źævtBŪ€¬?)mJ§œę/ö"ß¶×xæ½Å‹ģ]np[ū˜+ŲēœÕ¾į˜6"D¶iĮµEĮ3µįµi ÷Lo8k†Ąn3Všq0݌…”f8t3}”™iÕM-(m @“r™xŃĂ'~4ŲļG‚9~Xčć;PĒ·œß’ĢIżWÖĄ½‹üŠ;Ą—¼5|Ģ›Ź{½>¼Ć«ĆŪ½šÜÜĻm½½ÜŁū“{{ ņĆX/ĢņŠĆJÆ ģńźĀ%Æ ¼ņZAxædņ;C æ' ńūĮ68¼õWĄg’((sbš7ŽxPÜ8ŲȄĮß³åy‡ńįŖyļĢ#k/@"»²Ų%ßކbv(Ōµ”³ķ #l˜g»Į.Ū®ŁŽšĮ¶‡(Ō "QˆH• <•€°”ĀPVp)hJŠ¢RŲ&ūžšÖ·÷ų»½ŹßlP’H+(Ƥ„CŪæ’[jA™žße;{HßČvgØlėĮqžÓžåćöƔsFŁ"×Ū\ÖŽētöOŽ`_š[ž2)į”)×Lu8eZĮÓ֘A0׌„1"×¾"ć¶fŌ5æA9Ó Šl³‰lӈl“Šlæś±ą‚Čv•†‹l›ū Šū>§ö?r’/‘ė]¾ļć3"潎 ŽčMä^^ģÕąE^U®äāŽ®ēŻćfžåö^lč儇”^^˜ź•€^ŲēUƒ^-ųāՃx~#(ź7‡N"ēE~wøķO‡Gžf‘ń)aŹˆmž‚,ęo(o>AĮy^*}‡Ģ]økĪĆg³ĀېĄN‚4¶d9–“ m ŻlSmĆrŪŽŲśšĄÖcKĮw›¾ŲdšŃFæ­å7öæ“7ł™ ņųg„5¤}ó’K£Œ¦ŚźØż]­°}ŌXŪSu¶ŻT5ŪQ…ŲÖ*¾-£bڌ*‚”ĄZü`^įcs/™KxМĘuęĪ5'q“9}Ģ-lmžĀŗĘbG3!*ŸÉ§¢™Bź…_LńK©~yÕ߯¢łµTæ±Jķ·Q‘üź›7T=󦩎*uĘ;¤{wÕ>ĻØ½«¶Ž ÕŁ›„zz]UƊį…ØÉ^R5ߋŖÖ{Zņ<¼į}Ä÷ŽŒāæĄģž¬ēßĒ‘ž ÜķŸĒžZōü‰ĘōĮx¦f1u±Œ©‚ĶM$˜/Ļ{M¼eZą'Ó #Ła˜ÜĪƜv#±§±“½ˆģ5ģaoįXūŪGxĄ>Į;ö~³aLz1ČĒhäŖØEE¦x*„T(³ OyUX*®ĀP%åR„©™RŌQ!õVl)²Aü¬47ĻśiĪ •fØ‹ˆóŲī*–ķ >™Šź­ÉŖž‰4īTĢ[ō÷ćs~ņĒ`@$˜Š“Ē\¦9V5°“iŒćäy•ō7½D3‡£gfbT»“Ł#˜ÉŽ)>ÄBöO,cŸb5ūŲ\Ŗ— ņź×<^öP®Ē ź…­.Śįj‡¬ę…īšMļ3’é}“½}öD§Pņ«p~ ˆźĒƒø~"Hģ'…~2юäV]P@PJPŏ •żšāŹž®ā?Ü®åjž®īoęž2įąl®%\­åäŚ~wAkA}yÆĪü \Tī›Ē/Ā™ż|œŹĻĮ ż Óņćg9{ M‰p6f(gĆBI±¶’)®aĒ?ÄĘŪĻ1üżœĪßĶEüąŲʒ>٣Ʒ[ Ņ–¦˜(4ÄÄ¢®&!51É©ŠIG…MRŠkāŠ?2ń“Ģ·v€’ÉÖö_ŪlžŸ6¼ÓZļœż[lž±ų£kŽ{Ņ[hw‹ĶÆóĘŲ…Ž ;Ļ[lēxėÅž÷ŲŽ)Įuy~jg{ŸdĢ”Å^LZå„¢Ķ^nŚē•£Ó^#ŗ->ģµ7†ŠŸDQüY”Č_BüM”Ē?H„ü‹TĆLĶüO$ŚĢżż8<ÖOóż^į—ą­~e>ģ×ę‹~C¾/ķW‘U4“™Ó›\Ā|„†ęõ2ēi’9I«ĢqZmг•Ö›“É̤­f8ķ4ŻhÆiDM9:jrÓ “ŠN oĪŸĪkO›/ö¤ ņļ×,©VØ$ŅAŹjrQ&S˜Ņ›2”ÖT”4¦.„2Ķķ)„é%N±Ģt c–Ņ7 ½šÓm’’Hå!ķóßŃzįČY’½ņOR8³GöXO„Ķ"ji¦Ń03’Ė‹MKAuA1A6ARAŁÅFÓ4ŽFČ{o¹i[ŸźĖxE¹y!¤ļ×tīzčMŪB Ų¬;ĄR=fč¹0Joßōih§Aż*čˆXP'ĮĢ:;&ÖÅ0Š®Šģ4Āæ¶ųŠé†—œ>xș†óõų»s k9·1›óĆ;ŒUTµK%ST6ÕLU9U5åŖęź öR qŒj‡‹TvÜ„¾Į~µØ2pPżĶĒŌ,žÆ¦q5‰kØqœUāHj8æĀĮ| ūó ü‡cOnŽ]¹(väÄŲŽ=hÅ×”o„F<źń@ØĖ=ķ 7Ō„Ś\NPjq.AØÉI”ĒD€źŒ‚Æ\_ sUĮmA3xĢÆŻń>/ÄŪ|Ʊ—8:˵ŌIŖŽš&u€ļ«¬œµœŅ™Ļ%‰ÜŹČ#œ®¼ĀiŧœFüĘiĖ_>¬ōhެēq½žÓčœCŸēBś—Ń÷¹¢~ĶõE4tŖ3Į,]VéŹ"› |~M§Ė…J:TŒNœ­raMUӨҘPĄ*†WéQ©h0~Åxų ćāGĢ‚7°*žĮø ;į,\ń0ü… !“Z YÕJČ«6A)µj«ÓŠA݆”ź%ĢU>lSš‚Jˆ© Č*ĘrŠc§<†8U°ˆ¤ć×¼r©Š%ē£;š3œĘš?Ax[EÅt*:ęTѰ°ŠŒT$l ¢`W'ØÄøR„ÄĆrć;* ~VI¤ŒĮrõĘŖ{ŠU…Zj/Pk!™Ś Õnˆ¤NĀw¼š…œõ¶!ā2 ž’³79žün;ō&į -µpššoNIŖķ„P-§;UtŗRu§ÕuŚSc'8žköžgkĆœĮģ9³õF£q$ŃĮ¢q5qbRźdAg‡œŗŌÕ”¬nµth„‡C=ĘėѰD’»u[ø¬ėĄ+]“‰Ü”ŪU]ęöīīŽåłīŽįīę‹ījžĖĆģŽćX%Ņ·;ŗ‡8‹{œæėC|Loā±z—ÖAśž3žķ<¹½ōÕ]C/ܹtŪOgÜĮ“×ķCkŻī4O0ĘķIķŻŽTAś2ŗ})’;Ā¹ĆH»£d¾Ń“髞Aõz«ŠK½œNźõ“Bo£įz/5ׇ؅>N-õj­/R}•Śź[Ō^ß§śOźØ_ÉųŖÆ=Ŗ¦‘Ėźp\DGåÜ:.gÖI9•N'ĻĪqt~ŽŖKpX]Q¤RK¤ÓDøŠ–_9Żų£ó;ūĪ0ńć9¼žĪŃõ|ާWp2‘^:½sź=²ēA./’¬„OsS}‘;źkÜGßį”ś6/œ æŅ79²{‰“ˆD²¹G¹˜»«»¹©¢ī}J莔Ųī Š*cįÜ "ŃÓ"Ķc"ɃōDpV”}ś4mӗi“¾CėõZ#[®ßÓ\żęiĶóDZót"AzAˆ Ø ,’”«ń]‡GéåvēcnGŽķ¶ęn^évōō•¹ų™;U֌vƒūż,e’ž»£’IŁl ėΧ8"¹"Līz‘ąv‘Š*īž ŗNÕB„“Ź»[©¬»–JŗĖØØ¬É/ZCüv:‘p2‘v§)¦h`d”!¬»‹ŠŻB¾XĮ½“Žė=ōZļ£ēŽźsōY_ķæ!Žę–hžYsGīÜļ£įG>ĪżEQC) ĄQzØÆÓżRģź ½“č`ß’•ēī’ĒŻg„ī^zH†Z‹Æ;Ey§“ƒē:™øæ“‘8Y9—ĀaœĀ|Aåąå*÷RøØ ¼ą ¦ćł˜‚;a.‰š‹į[*Œ×©ī”<ø€rāʊ-(–¢4˜–’cxJ„ol<¼dcįv ēŪČ8ŹFĄž6,6¶_ Š}„ģ](h/CN{ŅŪ½Ą®×΃¤v±3”• ķŲkGĆK; āÓ@(O}”õ†5ŌnQŠÜ2pØÄ €a<¦óXÄ/a'Ą \ ·ņ ÜĖ›š$?Ä[rŸ3\A²ł1j3W+œ¹œß™Ą½œ!¼Ķ ņē×8'”Óń”µŌ­ÄW·åūN'>ćōä­NžĆŹ£QÜ×Ć=9ÜĻ™ĒCÅ<ĆYĶ-|ĮŁ+ė‡ękń%Ž$Õū8‘äLqōbŽ¢§°«‡°‘½>9ķł<ćg©żw/įž;h*śŠ”ÓɎkTM®Æźów¬Ļ°?‚æč4¤¦±Ņö€śÜFńp˜Äs`„ü7,ćTøŠėą:©×6šÜ(ė‚ūż,e’ž1»’ć'2Y©•ĻTpzRY§•—Œ¹²Ó…j:©”ūŁSīܹžƒSJ…f‹ &„ߦ…u6#“·™!— œŅųFļĮŠk@~®ų§p|bɞ‰ų$įćPΈ/gÅ升×Bl^)ćĖKK‹ „ž`¦Ģ™$sG C<‰%ńDŅ ø $ꦐ’ėI|© Łø*äꏐ+ ż5!„H_sk©¹$ćßäÜA²ßHˆ&{EäńR¶Nƒ74nŅR8Dk$fm–œg;Œ§=0€@w:$²? ķh?t£]š;m}Ųci-L„•0O,g)-€µ4 ¶Ó8(>ų ƒ+4®Ņ ø-±šOꨄœÕĀrm9·&D:£q9”„„š”š$¤ąģ†3AFNY9dįd"ƒøBHĖĢéų+g䏜‰?sJžĘ‰Łp|FįI@x¢‹¶G–ła8 e€ū”ShŹ#tęƒį‚߯muÕ„e^5Ź!÷Ģ#)Ü+…š")즄p†bČ^‘$¶„…wbŸ‰Ų#Ÿ-}c{A”łµą‰ąŽą²ą“ą`§`ƒ`5;¼Œ5/āĻć0<“ĆńĻć9"āHÜ]ś1QžLłł5eä'”ŒļQ|¾EqY*G>Gał(1ķ¦Æ“‘ŽŃrzNŠ}šJ×i4]¢tŽŠŠIJ@Gč‹=Jūģ1iOPM{Z|žś`nŠAó˜Ę›TŪ|¢ó…b™oōÉ÷čŠļÓYŸh¼ĀGž.z‘xźó¾äxž3™÷„R›TÉܤ¾ęĶ6膙GŃķd*oĒŅ0;‚öŪdm*Jµi%6p’cĄq±™£bG‡Å®rŲĖ­a—äžŪx˜D‡)°žĮń‹+Å÷,ås’ށ?$Ćß`&‡Į© 'qJĒŁq“äĻ#Äßåf8ˆ»į‚æóģƋ±'oĘn|;óeģ «-ĄV¬TsŽ®šprՐƒžżg#ņu«)’‡fVQą‘]ǃģnnņ:;œŸ >Čs8ŠČń©)„¦„‚픁sS nLĶ85ĶąąŗŸ„ wļŽ?  $4VœõW8 \ąųpFų{‚³ĀĪū¹$ģę*aė o[ o»ĀjīĖÅ·.–xó‡ųķŁS¦óf˜,9čDį÷xį÷~!¹éĮ‡q4ĀI„æ™°æÄ“ß¹ žĘ5±77wĄ.<;ń,įóRlDZ ļ^ŸÄ/›ń#lĀo°ߗö¼ä³°¹ĢiĮ‹dĪl-ń³-÷u-±½dd’ŽrN'Ī(²K${GĮ®Ūŗńg©¹^Bo¾æIŒź'1tļƒABūP¹Ćp‰#%ā B’+uĢxī%U{Gɱ[ŹżĮńėÓ$žLŻ›ÉÅ%ļ. z• ęrf˜Ē9aē—¹Ee}ٳōēr^}č"ń«Ä§ÜCbń‰Å£$O‘Xc×ó~»‰7Ś­¼Äīąév7²ūøÆ=Č-Õģ!.jsA{„ ¢Ės8éG»Ÿæ™Żü·ŁĘĻĶz¾g–ń%3‡™ń¼Żōē5f/3›x±9-¾ž”ųüĻRE…•Š*>œ6鱎ųśw¦ˆTže ‘­!¶ Tt¶a¼-;lx`ƒŸ^ĶY(#Ō’L¹æųõ%K²”Hš7iÉt i.ŅĖĻx3?9Żā łµś°Sh}ø .ņF~Ėė9¢xłōāåˈ—o%^~Øx£Eāö‹uŽkż&ÖS<|VĪp0·õī}łń<;°_šB¼ŖNOu䬪—4ē®Ņ7\uåYŖ»Tį½yÆźĒēŌ`¾«Fń+5‘ߨ=üN=ē÷*|R…į­ź"oŌ*x®nĆ}õ®+T<„¢āa÷ؔøEeĒÕŖT ń‚ź‚7Ō ¼„&āuµ@Ž·ąquNę½Åµź5ĪUĻqŒzˆ½Õ l.ż•ÕaĢÆ¶cjµ£©?Šąü Gā5ģ‡±nĎøŪą$l…æcgł¬ŠC±€ō¤Ęł 7 Cųnąex‡ū ¼ZiÕ(ÆśCÕęŖjpJä…(NNįvČėd€ŹNjhå$‡žNR˜ī$µN28⤂ŪNFųŪÉ ®. ńuȤ;Ca=*ė9PEƄŖzT×G –¾uō}ا_CķAC XC»XNGĄ¢:ęѱ1‹Nˆ©u2L¤Ó`LAZAAA5A+;čˆŲ]ü¦ßĆ@ż' ××`¬> Sōn˜„WĄl=ęčA0Ww€?t]˜/4-ŠŁa”N‹t¢?r żˆKėKœQåčz'sÖó}gužąÕĪ žčLąīĪH®å ā§Ēr:óÕ’ĻŖF¼NÕē ļ;«\U5•Ų߆cŖ.üY4źŗhŲvœĢ3q¾Ōq«%퐺ķˆhßž·ųܓZēžŌ3·„øĪiį2»p^üŲ9©Qƒśü³–1yņäXFśŠ,"†č¼V“„֞Č#¤=«ęqXē%§ŃÆ8½~Ķ™ōĪŖßrv½”—H}>\źō–‚’2/š+•ź,©Ļ§q@÷łYІ öŠZ„R”Uņˆ ź$ŸW§ųµ:Ėœ‹œŽ¹ŹeœŪÜŹyĢC…ŗĪ[Įg>ąx" fėhHØĆA^ jė„Š]g€‰:3LÕéE†É”£Ž'ż1 ”+ó˜ß;ßE~Ÿy†ó‘Ū88Ÿóž# ©·|O½ä[b„WŌ3±Žū|ZŻććź6R×Å¢/ónu‰·«‹¼IłžK?Ķ+Ė…Ž*HūÆż`}ØĒŗ ŽųT;ą9ž„3x6ą{˜įp0¦ĄnXH,·ØŲk lŒ%±–»-‚µ0ÖǬŲÓŹXRģ€q°+FĮžV,; öÅöC ĘAčĮp|cńLĮ 0 Ą|ÜKp1,Ē™°ēĄB\Óp ŒĄŠ @K™W oB9¼ÅdmfLŒ±ÄOdŠ£ĀH2ÓĄdōa­œpBŚGŅśųb©ÆI}‚āéźŖ§PL½€ ź5ÄPoĄ“Żćk8…Æä¦/ä¦Ļ”?>“ŸBANABéseü¼‡[š .€cĄ°n’‘•ēCXœįq DĄ‚žŪ  Ŗ J ņ 2 ’ʼx².žģ“ž†Ōš'd‡+PCŲM`!t†‰ŠĀHč 攄¼Õ‡±PA5A A.AjA\Qa„ƒ%"ĶĶĄ’wł|¾ń3ųĀßįGĄœßs6|ĒÅń-ץ7Ü_qw|Įƒš™ä„J.ū@üĀ]Écońm¼ĘÆń2žēØź ƒąo<Ćń“D¢Ó|P°Q°Oń$Į A<ÉMUEYń'DDĀ£²ƒ{ŁĀNž [Ä×lą·ßHT|+ųäé7a‰äŽ łDČM’³/L’¾5;Ć2Éi—Ižŗœ ŹüL².” "¬’¼k5æā5|[pš×JõµN°^üÕ>!ėxčå™d<¦T 1į¬ąœą¼ą—†;ÜnJv}ŸJ’{’ā=.„/¹~å>čĄDŒ 0¦hX2Ų‹Łį,–„ūXŽb{°ų»D©‘¢Uc ¶šqÕ4ˆ§‚öōkžisØŖ-Ņ¢ĪĆqüfb9±“GŅ.€Ć8H,f’Pv IŪ{@W¬ U±¤ĄbołÄ~׈–ēMŽ;Ц<…R0N“KC<т š’G ZĮ{.M„·-D‘) $ K o !$†šR  (Č–óĀw.%šV$jĮ[ī&{ „§<ńT‰$³…·s%š|’Šm®TĮ3cą€D˜’łļē °OŖ’}œ\Ŗć‚0‚ļ¼G$ŗ‡ļónɘw‰$wń!ŽÉG$æĪÅ$.M“væ“/$_{-Ņū„†{Ėq‘83FŅ˜ša Ąr0ĀVģ ē„_āųŒ³A«…Qłś³ś÷O”üĻßō mŖ7]SæÓ'5€b:ƒ)‡órŗR9§ÕvšSs§>uvŖŃļNYN.šź¤§NšķÄ yŽK8_ķ|ē¹żĆ¹fē9Wķ\ē²%˜*Ļœ;v¤Œ v|ū»‡z9‰©ƒ“”š:ÉØ¦“šŹ:‰ä¬˜TщHU-}¾­ć|“ œ—¶±óČ6‘õdŸĪY[×9fk;ūl g›­ź¬·••¶¢³Ō–sŲRĪ[Ģ™f ;£l!gˆ-ąō·yœßl§·Ķ(Héōµ œ6†3Ö:Ī\ūF­·WŌa»SݰóÕ ;J}³}ŌWŪ[}±½ŌgŪS}²=TxŖ¢S•¢ŖāōkŠMlIū±7-ĆQ4ēPO\G ń0•Ā” ßQ, Ē>¤ā‡P‚H•øY*ĀRµ.Rnäµ¢C;$zŸ›½ļ8"F]Ļ­±šÄ—®°'‰%ŌqČ®@‰Td\¦RąY•?Ŗ2˜Š©‹„œÖŲÕi‰ć&øĀ©ƒœ xĶ)Œ9™Ńsb8cėL߃ōśdÕė §ž¹ti[B6]2č<ą;鱒“H2ĻX0ʉ ķˆPŃ YœDužó‰ā»Ō~žØ6q+µŒ J>Sņ ×’÷‘ź’46å«X…`!éĖČĘēp* ĒWŸ)ƒś“ ØKTI &j=uSói˜šHÓÕ`Z¦‚ś÷k慜źk*BgZ£ŗŠ~Į%ĮSՕ¾ XąŠ6GDw:P §ÅqšPŃź„NJäŌ¤ÄNUJźT¢dNEŠėT (Ny 8åČŖņōAU¤'Ŗ²XH:#Ļ÷UYś¢JR$§˜¬)$kóĖ>¹)¾“CÖf JGќ2ž˜Ā‰f»•Pč‰GžŠ%ĻŃeļČB[x"(y'kŌwū]4ī‹zg?Ŗ—öoõŌ¾SEKļŲןŗ}©.Śēź”}"ūPķµ÷Ō!{A°‡Ōy»E4x¹z`g…žĪŪWł¶½r؍œÕ^„®ē§~r‡QŖ©p¾#-RA~ż,ē÷.ūĪ’óI?¶i»bs›Ä&oˆ=¾²%w¶ˆų„‡Äī‚ćævR„Š“RĮeŻ9oc;§l|ń‰ƒ6…³×¦qvŲ Ī›Ex”“€†‰_,žs°ƒ4Dų>Ōyc‡;OÄļŽµ£Å'w.ŲÉBķxēŗåܲä ó§ >¶Ÿó^üņwū›ŌĒ #ž92õtbÉŁqÅO'¦†BS%'HßĻŽtd“Z?øiĘŠ›Ę„ef”äq $īåfć‡Cņ# c¢`c™d˜ĢdÄ,&/2„°¢©‰ Msģ`ŗ`_ÓGšQ8ÅLĮ¹f.6ó1ø×ĻRÕ„lįPõĻ_pE6‘ń£¶³ā[\„ÆsQ>Ļ%%‚——Œ¬:ĻęF<Ūq3ī###91Ļāo“Š/Ņ^^N¹/=įJō“QdųdS†žŲl[ :ŚęPŌö8v¼3 ą”ŁĖĶan.Có*™7Ē|ƒŌ1ž ƒŃLD Ņņ³·ś÷æąś?o5"ōVEįO[Ģ{gC¼÷6­÷ŃĘóŲFņ’RÆEóZR o4ÅņÖQ\ļ2%š¾R"/'õŠq Æ5§ņĘqZo#gš®r&ļ+gńāA6/䚏A.ÆäöZ@>Æ š~‡BŽH(āM‡bŽ2(į-€ŖŽBh hķĶ…ŽlĮTčīō‡®^GčāՃĪ^Ičče‚ö^ hė}ćVŽnįķåfŽÜŲėĻ ¼\Ļ+Ąµ½\Óóؚw›Ŗx{Ø¢÷•÷QY”æ“WJy¹Ø„Ü©ø™Šyd‹z/OĮū’' …r2Ģ”ĖŽ|Śē-¦•Ž šź­”ŽFjėm„Ž.*ģķ£ōŽqŹč¦ĢŽYŹź£ģ‚œŽ ń®Pļ.åõ®Qeļ"5—ń>Ž)ē£Ž!Śźķ„“Ž6ŗ/{ŽöVŅMo)]÷‚ēżg(IŸ½·ōŠūHgDĘŪ=C‹<ąqžęŽ^8įw$®čÅęJ^|®ā%äj¢5µ¼$\ĒK)2Č(²HÅ]½¤%š;‘öŅ{o,=ņFŠ]oˆ` Żóś‰|śŅŸ^ozźu§'^GyoAo¼ZrėRÅĻA)üdāG„2¾¢ŗžwŪŹ7¶ƒŌG83Ōž÷kŸA „<l“Ÿ%jžéŒ³WœĮöˆäĖ[œžv±Ó]ņųn¶ ”äŃ „æÓĻ֓»ž3HśK|f—;£ķg²=!{\sVŪĒĪnū·Dē÷’ƐżŃ ī’’Fé’ų{ŌŠZe“¢čōŁ­I÷ÜjtÄ­AĖÜŗ4ÓmHcÜfŌĻmEÜŌŻķF½ŻŽņޟ¹i¬;Dę £%īZļŽ’v¬¼—ž‰2>†ŗóh¤»XöXIÜ 4ÅŻFÓŻ=4Ū=DóÜ3²ęķwÆŠ)Įy÷¶œūˆvøŃ÷-t?Ó×£ł.šn€ē¹xŽg»±y–›gŗÉ©Ł!‚ü‚"‚’‚²<Ż­ČÓÜŖ<ŭɓܺ<ŃmČ毦<ÖmÉ£ŻöņÜUś{ɜ~2æ/u»óF·3ļsŪń);#}ēŻ|ŃĪ—Żq|՝Ź7ÜŁ|Ė]ČwÜeŅ·Ję­ēƒīfŽįnåõī^ęīZ÷šT÷ qqW÷7vĻs%÷ —uor ÷vs>÷9ēr_s÷=§wæp*—8¹»Q āŗI!¦›¢¹Ł ’›Ā»„ ¹[r¹u “Ūj»M”µŪ~Lt›Ć*·1lrėĮN·t«Ā ·"\pĖĄu·Üw ĆS7/¼ws¹™!| -Ä ¤„„¤,RāBĘ@LČˆ !ˆ?ŠJ¾r„Ą;®xĪ ÷¹eą:wœćcü{` Ģąqį<%Š›§Śźšä@ HĻɹ_ >’ˆĪ=į¹[@q§€GķØuą%µ< «T#pŠ*öSéĄV*XG…+©@`9å̧Ą Ź˜@#(M`% ō¢„N'Ōןż”ī?ļZNdRƒk¹ 8¾Ūœļė–¼H7ćÉŗ1Öõ¹«®ĆMuU®ÆĖq]\Pkė<\Agć:=gŌ©8™ĪĄ±t«ó³ļåwN~åTęgNM~ģ4ą{N+~čtę'ĪoüÜ*cćų­3ƒ?8 ų³³Šæ;›Xé]Aā˜ś'Ņ—8µ¾ÅYō#Ī£_pQA-A;Į@ĮTżoÕĻų²~Ģoō]øW9”čS6ѱ¢µŻ¢[³¹µčegw÷vGń@wtū‹®÷ī*čĄ3ÜV‚¦bõE×k Ŗ/‚üųYö åa^øCMõ=Ŗ§P5żˆŹė?©ø~N…õkŹ«?Pż…²h¢œZs^– éH\\GćŅ:—×Iø²š±ŗĪĀ5u.¹g>įoa®+¼®£KĖ{«ŹUt-įy=.+r)-ņ)%Ø ›Č܆ÜL7ą62ŽVęµÓå¹½.ÉdŽ:Æ 'wŅ™¹³N'HÉ]tRAAl‘mtA$AX#ć–:éÆŌQæ§öB{ŪŠæaxDĶuš~’’>y]"”CIa„čnpÄi ͜Āé/U8§ŖĄ;•ī«Ų°F •zĒ™Ōa¾Ėx .ąß„-ƒs8¾Tū¹ń- ĘʔF%„Ŗ-P±9Ŗź&s'p2µ†‡Ŗ+|EłŻ9#œr2Cd=źčąŁ?«®Ÿ=śƒ[< ½EWČĒ­ #w„DÜ¢p_h$üIąMƒ4vŅ"Xś ³ 0ž¶Į@Ś ]é04£SPƒ.@)ŗyéd Gˆž‚ØōV¢÷'Éį=xnoŁž±q捎m\\b“ąt› GŁ Ų×fƎ6›ŲXŻÅR¶ę³0“­ŠIm-Œa`Ą6Å料6š”éŠWLož„xTŖ¬ƒ0÷ĮbÜ Gq'<ĆķNmƒ j+TtQ[`Ŗ`»`Ś ‡Õ!8”NĆiu n nŖ«pCŻ„ėź.\Są’z*Å 8Øž‚-ź9¬÷9ź1LP÷aˆŗ ½Õ5č(ėŚŖ‹ŠR‡ĘźŌSg”†:#ēr²w)AuŅ©_^ž=</ń4ÜĮ3p^ŚCB’<KńL“{ Å#Š AAe¹SAAFAAxéóį0¼†£pNĄe8 ēįŒüw^Ž.Āqø;ed\…ÕĀ„ÅpęĮ˜)+‚¼ū5)ģ•BCįŽ,Ų«fĀ65Ö«iĀ)°PMM€ijĒāī‰#ø Žś& S„Žé\gs1¹OaA~Aˆ xæ_ūŌuPN„‡œ“ÓÄ„6µ£[¶5ß\³mų’mĖgĒåłmÅūl3Žc²óAūŒŽŁY²Ŗ·•éØMO‡-Ł#ö‚=f—Śv … ²=n I_f{Ō&–ńHß±ÆwĢ3»×Ä¢•&6­2ńhILėL ŚhŅŅ“‰¶›ģ“Ćiü5‹ž'ĘF€ā~xėkmžq ĻF·&„±q!‰Łyl `æó<{›—Śg¼Ä¾ćÅö3/²žĄņBĖ€’‚†­‚g‚„ōėŃ >!™eiJ"}uį„i /żrÖ/ éüBŃĻŁüTāǃ|~(쇇b~®_ū4GĀŠF„쐖ĄpŗĶĻ„Š6QTXH1a¤ä½(T”4RMe’j*8÷×ģ-~詹ăōā5¾@.HÕ 1v–ēÉāÅ× †ĖxsxECēżŚOo’łžĄ—\É+©ż¦^ø×Ä ¾’Ś]:„īœSrš±~">īĒgmār“‹ßł’…7‚W~?÷óšcæ ßń‹óæ"Ÿņkóæ1ļō[ņfæ=Æ÷»šjæ/÷ūšbæ’įåéž(žäOąqžlī/äĮžJīļo侞īķļēžīīŸą®žIĮUnŠ+ÜČæÄ üó\ß?Ķõü£\×ßĒuü-Ņ®÷926^ę ę&~Onęwą~+né·”ļņk–Ó#”+y$ö5įYź#õQŪØššH1UW:­Ø6”ø„źįuʌįł-äę$˜–+adīGiަ-øŠ6įfZ/ļkš2­Ć‹“÷Ņ~Yw'ŅiAgēq$]ÜĘQōĒŠ_8–Žįxś"s N&„¦QX5“"©9]żAqÕJ¢Sjµ„2©e”S­¤|jV›©øŚN„Ōn*£öQYµ_žÆS<”枓ŻŌßō»JČT>AyŽķg¹ōļßQėžoŹŽÆMQ|iŖąSÓļ™6xÅtĆćę7Üiść 3gH;\Ž{J+Æ'óŖČü2²®øTOE„ā*.•XFś Ō3 •y=ĶsnžĀ iWČūNé?.ćWdŽ=™’TÖ½4Įóö&’žż¬?ŗÉES@źĄRxĘT’Ō¦ŌƒMqi‹MK¹I +ļƒ¤æ—Œw’y­e~3Y×H(i(5c#©#›™XŅYĘĆČ<%óĘ’›0,–÷uŅæ]Ęȼć2’Œ¬»`‚ē’š=’ćŪKÖõ Ć*A'leqøųØ9’W/ƒł8ą@H„BMApīĻžzsdŻœśĻ÷rvåGŲ•Ļ ¶  Ęb žŽuxVąUX”·`ļnj|“ńeŒĆ÷0?G‡?ąw²ųN4ż)ÅPwDĆ/Quœr«CTPķĶŽ!½…*«õTS­¢ś¢łĶŌBj#šßHķ¢2·œŗLEÕŹ£^SVõŅ*—“ŖčW%įØ*#‡ĶGUšæcM~Ķłéż5OńĻg KÕāėrPZŖęśzŠŌ‘×`Øīµ¤BO­c‡y—W'’ŗ4 T—*ŗžTōĶuV©;C¤*Ļƒ„¢„ƒ{żoTżūwæ§.=’_ßģīž‹Ī`ļ?t¤FHåT†”ö³ b‚ż`fŁwf‰}mÖŁf‡}fŁ'ę¬}l®ŪGę”}`^ ¾=4‘鑉Oš4ōL2’—”Č'}Eč†)EēME:fŖÓS—6›Ę’Ń“¤”čL#ĢoŌŃ „f<03)…YDįĶzļo£›”ŲOgütĄæH[ü[“Ņ’“ęūÆiš’”rö U‡Qµæ7”ārC”"‡D°†j0ˆ ‚Ā!(ćf~ŌUĮ!D3åVÜ{õ¹øXąPD ÕPB›5A¶HDHeēœēōÜ?88„‘Ćoxļš>‡÷9Ółā•JfE5sb»g¤Ž{˜C]Ņźäi÷ī˜N2H}œŚM?/3ž–~Žyq–ŁqFŽ2Éwž«B‡Ō„“Ō…ni™˜=į’ģ'ĀEi ½œYzä(9Įš6²ŗ#V{²Ä7ž_OҶĆJōŁ6²Z»n5v˶،%ķ¾m²§VÉI2aóŁ‚•Ū+³e’@¹U#²:$¬U1{QfMų©-ų¦‡±H_ŽŃ—y=…9=ē1˜Õ~ätšE»qP§QƳHéCü’OšY^`A^įµ¼Įœ¼Ē3łˆG²„{ņw$b®'}Jj½(;=/»™ķĶĢŪ#¤Ķs1¤śµ¼_“iĻŹ]—Ē~U^ś(óżŠ| _É2ĻaLR!+[CNv…bLC˜äĢ8I_&čĖ„“„}Éӗ¼gŻZžüŪꍕI.‰¬īĆe=‰Œv!­ŅÜV7žÕģꍘŅĶ(h©n}»>V6Ģ|Āp”ōĮØŃ{£”G>•“æŻ¾!ī®?Čŗ¹ƒ`!šéĒņąž¶; 9XˆrqexĄ×j'‚ś’’ü’’R£Č%wņ·žxŚ­š|WE¶ĒĻ”€‚„&EA Ho!l@ŖeiāŅD@š“܄Š“PD:Š€7€&E@Š„‰H„ĄŅ„9sĪ;÷®īó½Ż·ė>ĆēóuĪ™ņ›¹3÷Ī\PĮ½fC$@(ņ'ųOn`ĒÜ ¬<ŗĀOÓså µ‚æż±Bqd$ÜÕš÷?%nQaiÕ}?÷e™’ŽCĆß6Jķ/Š&,sČųh)K™Ü°čīżzŃŻ/=™€Ą¾_¹£‹Ś€µ~ĢŻ€˜°žEž•¢ Ė«?+óž¶łó†óG€āϼābś,ög>{”Óīžć<6@‹­C?»”ūQ0™Ņīō£ģR.'ė hŹiwŹeۚŸSylĄ •v7ą9•]ŹiĒl{sčgņ~L÷ū1ZÆ ģōlz7b)ŻĒR“~$$°³KłMŸīßōŃŗgH`g—r{—īŪ»h]'$°³KłAÜä”=¾å{S6)/ӟłeŗ˜ŲŁõėé~ DėgC;»v#S„ūL­w†vv)W„Š¢š7$°³K¹£I÷M“®ŲŁ„¼‰Óż&ŽÖi!żŪ•Ėž[łpØÜ Śn>ƒ»ū=œźĻp†’‰OūH0T JSkˆ£W” ̀ᓦѷ°œr©TUķ¢Nź0„ؓ””ĪR¦:GJވÕ'©Æ>Lsō.ڦ7Ņe½œ ˜iTĖ §¦32q“Ą”¢ĶFÓQsŹ_1ńÖNńĮ FŒĀ‚Éų`Ä| āŽ‘ÓGDÄx“Ļłk6џ³ļų#v§ßn/łl>Zh+S²M ¶?żŃ¦R¬}ŸŹŚ=”Ūž§ĖxŸ‰āÕ&†'š8~Ł“å&¦'—2Ƙõ>®gš:½“õ īŖ×r-ĪługŖü‘Źąé*_Vk¹‘ZĮEŌB¾ 3x?Lą•0ŒĒAOī m¹!Äqqˆ‘C‹āoxŸ§å¼‡&ņū4€S©=÷§8N ®L…9ŻĖ—üŚé/Ņ;ž%śCōœßM1~ åōŃ)ÜH0ƒ’…Qøƒ‚½d_~}Źæ>Ż_×ēÜiJ™7u-ŪĀWµ}I›āóŲżęŒ?frŅFó8Ķ6-iéC­M2=jéMtHļ§„ś4 Ń—Ø‰¾IQŚÉyzJWŽĘ©›ŌV]¢ĒŌiBŲO`-ƒ%4’éčCÕ”„ t›ļ”ü­ßŹńļńD?—;łÜŅ/‚õ …7TĄv¼®vćUµ/©˜©āY)O‰’Ō-ķ_Kæƒ4 Ńa¦ń+ڃDŸ£į˜“wc.އyų pļåo0‚O”ā3x”Īįqŗ‚_ÓƤĻpé“Č Fr5šs«$¾_åhÕYāg{.®Śq)Ֆ*Ŗē¹²źĄUT”›ŌżYź’ł •Ā5ŌD®«&s¬šĀMT*·PS9AMć.ŖwUõø›ŖĶ½TMī+ ū5©Ŗb…x‰×3¹ŸšÅƒÕl.$©9]DśDKŸ‡ų„.ĢgōĆü.Į$ĻlLo¾ĒōāūL~ĄtćBę%.bŗp Ó‰Ė˜\ŠŌįMu)«p”©(må„­œ“•ēr¦W0•¹®y†cĶÓoZrsӜŸ6MłYĻ/Hžļdbł%SŸk›Ÿ( ¦¹!w’+TĒdQ“IĶyj*“4?ŠÓę •yFŹŻa¬h—yRLYžbJń S‚g›¢<ßę ĘÓ8Ń'ZD+Y“¦˜ 4C˜-ö<óאuę>N7¹x“ÉɟĖŪän²SĘī5w逹E_Éų·ĶzšoÖ«ä~“”™E“Ō,¤UĀó6­—\šƒłŽ.™Ót՜ Ķ1śÉ|EhŲ½dķnŗĒĻ*Ź2Ėč¢hd™yāϦkę-ŗef“’ŏ¶ė©Ø]C%ķ»TŚ.§ĒģbŖ`Re›FUķ,Ŗa§ÓÓIĘ“—yŚŅM“@·M ’”ĢՔ"„{msjb“Ø•JĻÉWųmźj;Q#i ØoS=ŪPØC luгU„j!<-ö«¶½fc)ŃÖ¤±6†Ž“eØ”E_׎ńµķMįŖÆc³|›éćģ÷¾‰ŠĀžyĖŽOsmN¹zæÄžčWŚ‹~œ=2Ęń£ķA?Źī“r—k·ūńv‹ORķVæĮņR’±żÄo±ü»Źæf'… ;S?;Į÷±c}_;Ņ÷·Ćü`ūšf‰Žążvš?dߔ»č(Üō'l/Ńģģ×ȝė=ū‚×>+“ö«msæĪ6õ鶉ß$|güyļ°u}–­ā/Ū²~¶ņÓmAYW¤Ÿdó ¹ü!uŚĻ²ąēżĢ5i»a­æiļą-{oŪsøĻžĮ]ön·ßąV{·ŲƒøĶīĆĻķnÜcwā—ös¼k÷ ³ ėķ īaĮ}ģ’ŗSžņÅ0bĈæ1Düż†™K7̱pØ ÜÆ&āNÕ?Rµpµ*€iźŠ{Cķu½Õj×Z„ŗJjˆĖ«^t”•Ū ÜØęśAE»BR^äjīcną¦s+כ_tyˆ+Į©Žiµ;M{ŻVŗāVP”ÆL¢®ŲŸ&bwŹĄĪt;R¤ļLõ}wźéūÓTŸD~ō+ˆżV*F§©61µ”ü25ęD¹§¤ŠtžIó|ŗ(wB0Ÿā`&õƒš‰“^¦‹Š†ņŖŚTI£ÖŠ}ouŅæ”2|ššźW«žž#UßļT‘~æ ž’<^V}–jģæSżż15OŚvųõ겟§ņS’ŖB]UkŠU½©ØK·e®}°ŒŽu46Źa³¬a#eņ:ʐ;LЬ­ „ܛņskŗLUč ŹOļŃe?•vųį4OžµæoK}s*čćdb)ćh<6§öŲ–bdorąp:ć¦Ņf÷Ķq_Šw™ŗøüü”«ĮOŗ.\Ę„pa—Į‘.“óĖDŗx(ģC÷<éöĮSī6tqEÕ«ęø®j³KRgÜ<•׫9ėöxLĒļT:f…ĻģĆ’üųߨ_¾n;9€GœēRī:wv79š³Gy»‹€NA¢»Ķ;rągrĢg]NųNÖ]Učgr ę€dĢOį}ŠLŗžļS~ TĪ)æÜ<šę#ų%ßĘB°#aŽÖgĻŚ×`¢|Ÿ„ó§ø‘—b~ö(æŽEy1våŁŲ‡bIüģQŽÅō '°5Ē%ųŁ£Ü?”×ä«õłjm‰[)š’ņ’ž{šaŌ°½®Œmu1l£óāÓŚ»Öś’k„O{ÅžŲ%čn“žŅ-×GŻēśwRŸsĒõewTßrG4ą}/Óą×ŗ0žŅąY]ZüGń ]?Ņ1ųž®Šsu ÆėaĢ—€EõŸš†oØIX]-Ā˰WĀ쇰 œÄø€Q…Uą"¶„s8¾Įµš%ž[°žZ‡eĢ)•Š1z!VÕ«±¦Ž„õōē§bS}[ésņ?é.^Ęyz0öŌż±‡~»éžų'ż¾¤;㋺=vŃm±“žū÷ķą“į>Ēń%Ų‹)š n’Ģ| āćj öT£q¹ź‡ß«.XBā{IŻ Ń}°”€eōkXVĒGõh,'q“¼N•ŪŽ|\©Va/õ!–W[Dē Ń;$ŗžļ[é„p„±ŠA2ċXIwĆŹ²GUt_ɱš‚OźD¬”“$sLĀŗ: cõ üƒŽ€ĶōgŲZļĮgõaÉ'dßĪŹ>fb/}Q2ĄEÉäŻÉÄDż=Ž”¶Qś”p\8,ž^É;$k|Œƒtŗd»ÕŲW/ŗõ|9—™r&“%ĒĪzØDÄA¢ßŪ鮒}»ćsŗ«d¬ŽųŒ~ō³’‰ć±…dΦŗ„¬+6’Ģ+™¹”dą†ņ®ÅźĶ.N§»Gō箄>ęŠė,Ä~@v¾ –Öµe·[įć:؃’ōvš‡p’JĄ]WŌh,fīÅ&–2āc&c$›U3ێd±FR6?AźŪI{Gé×Uśw“q=Ģ]×Ó\w=äżīf¾w]Ķi×Ń|ķŚ™£.Į|åš™Ć®‘”uÄÆ&õ1Ņž˜ō+%żKČøb&˜’’—9Ź„O_īŅĢ9×Ü\pm$?/ŠķĮēM.ÉŁł°¹É/Ok‰’„ŌW”öĒ„_Eé’„Œ«e‚ń’éī ē®Ėą4ŹĆb( iPfĄ#0Y˜„ …DØĆ . śC …k< nńp¢Š”Ź©[^åµT![Q·•Ō£¶ŠŖlŸP5m5ÕŠ>©b„¬`O@@e{ŖŪ«Pßzhbs«„:ˆ^wßßVU‰Ņ’ éŸb+«T[NM“¹§ŲHõg›Gµ÷Ŗ‘Ā@±ūŚüŖ·¬Æ»}Hu‘²½ųm¤­…¬?ŽŽ‚†ö2ŌµßCmū-T³_A%»ŹŪO ¬]%ķ2xŲĪ‚(;ņŪžį³’ÖżźīW5ȐugŲĀź„m NŪ8uĪ>„~°O«,ŪN]¶ķÕŪY]µŻ„ŽźÆvˆŗ`G«³öué?NöнÓ&©m6Qm‘öOķ@õ‰}U}lūŖĀ&;Xģ‘Ņ>^śN–1Ódģt™gŗĢ1M]³SŌm›¢œh‘hCÄ`”bŪCyū’śÉ¾ ®ŪÖŅ7^Ę4P{luCp¶¬ō{L™ˆĒUŽˆŹ*—Ąį³üć;cĀ’ÓąæEI/­(€ąą€  ^ ×^Ó ŗJPoincare model of Hyperbolic Geometry×XÓŗDGlobal model of Spherical Geometry×>Óŗ*Historical background×>Óŗ*Historical backgroundņ/Č 0ŅÕL·DTimes New Romanp5ŗ|ŚdŚģ 0|ŚWo 0¤ €`’’’’„ .©  @£n’ż?" dd@’’ļ’’’’’’  @@``€€ €šxšx8X   µ  ?š„š$’É2š$śƒ/uRó†×e®b„ķ’I@É2š$Ēņąž¶; 9XˆrqexĄ×’ńI@Éc š$ƒæĄ’€ń ’’™Ö“’f™’’’’’f’Ģ@ń’’’’’’÷šó€Š)ŗuģŹš;2NĶÉŹš;śgžż4AdAdģ 0pڦ’’’.’’’pūppū@ <ż4!d!d® 0,Ž\6ŗ<ż4dddd® 0,Ž\6ŗ’ <ż4BdBdœŚ. 0,Žˆ¦Šžŗ___PPT9‹€äÓ äÓäÓäÓ?Ł Ś%š‰óŸØ&Non-Euclidean Geometry M. Lindahl”4'6óŸØNon-Euclidean Geometry”Ÿ <Objectives 1. To question Euclid s Parallel Postulate 2. To examine the properties of Spherical Geometry 3. To examine the properties of Hyperbolic Geometry”$Ÿ ”óŸ 6Euclid s Parallel Postulate”ó  óŸØNew geometries arise”ŸØ™There are TWO possibilities: EITHER (1) there are no parallel lines through the point, OR (2) there are more than one parallel line through the point.”ššóŸØ"Possibility #1: Spherical Geometry”##ŸØŻThere are no parallel lines. A point lies on the surface of a Euclidean sphere. A line is an arc of a great circle whose center is the center of the sphere. The sum of the angles of a triangle is greater than 180 degrees.”0Ž ŅóŸØ#Possibility #2: Hyperbolic Geometry”$$ŸØMore than one line can be drawn through a point parallel to a line. A point lies on the interior of a Euclidean circle (Poincare Model). A line is represented as a circle orthogonal (90 degrees) to a Euclidean circle. The sum of the angles of a triangle is less than 180 degrees.”&Z  Ŗx˜ó ŸØ!Properties of Spherical Geometry”""Ÿ Let s take a look at some of the unique properties of Spherical Geometry. Historical background Global model of Spherical Geometry”2J96 Dņó° 0ßJ_ņó° 0ß`‚ó ŸØ"Properties of Hyperbolic GeometryŸØ¤The differences between Euclidean and Hyperbolic Geometry are difficult to describe and are better seen: Historical background Poincare model of Hyperbolic Geometry”:„ ’’’ž uŖ2iņó° 0ßi~ņó ° 0ß¤ó ŸŖ ó  ŸØ&Applications of Non-Euclidean Geometry”'' ’žŸØ„Spherical Geometry Pilots and sailors use spherical geometry to navigate the Earth. Mapmakers use it to produce their projections. ”(…oĢž Ÿ  Hyperbolic Geometry Einstein s theory of General Relativity makes use of hyperbolic geometry to describe the curvature of space-time.” †r’fžźīŹļ € zšr š š š( š š šr š S š€Ąåŗæ’šŠ€  šĆ  ŗ š žšX² š ƒ š0AƒæĄ’?š _šH š ƒ š0ƒ“ŽŸ‹”޽hæ’ ?š ’’’€€€Ģ™33ĢĢĢ’²²²īżļ€ ­š„0š4šCš( š š4šXB š4 ƒ š0DæĄŠŃ’šĄšXB š4 ƒ š0DæĄŠŃ’šŠšu¢ š4 ƒ š0€ä…æƒæĄ’ššš °  šŸØPš¢ š4 £ š<€ä……‡æƒæĄ’šš š1ŸØm”šÉ¢ š4 ƒ š0€Ō…æƒæĄ’šąPš šiŸØ' Assuming that this is not the case,”&($֓ž$(֓žšX² š4 ƒ š0AƒæĄ’?š  (¢šB š4 s š*“ŽŸ‹”޽hæ’ ?š ’’’€€€Ģ™33ĢĢĢ’²²²rõ™;Æ  ±õ ķљµ tč>é(€ąą€  ^ ×^Ó ŗJPoincare model of Hyperbolic Geomž’ą…ŸņłOh«‘+'³Ł0ÄQ `hˆœ °¼ Ü č ōäNon-Euclidean Geometry lindahlmdea lindahlmdea47dMicrosoft PowerPointy@šĒ%łK@ #Ņ¢Ć@0Žü3„ĆŒG“P’’’’‰g  R(”'&’’’’ĄŠ &’’’’&#’’’’TNPP,ŗ2’’OMi’ & TNPPō &’’’’&TNPP   ŠĄ ’’’ ”'A Ģx ŠĄ( xK€€€€€€€€€ĄĄĄĄÜĄšŹ¦ """)))UUUMMMBBB999€|’PP’“Ö’ģĢĘÖļÖē琩­3f™Ģ3333f3™3Ģ3’ff3fff™fĢf’™™3™f™™™Ģ™’ĢĢ3ĢfĢ™ĢĢĢ’’f’™’Ģ3333f3™3Ģ3’3333333f33™33Ģ33’3f3f33ff3f™3fĢ3f’3™3™33™f3™™3™Ģ3™’3Ģ3Ģ33Ģf3Ģ™3ĢĢ3Ģ’3’33’f3’™3’Ģ3’’ff3fff™fĢf’f3f33f3ff3™f3Ģf3’ffff3fffff™ffĢf™f™3f™ff™™f™Ģf™’fĢfĢ3fĢ™fĢĢfĢ’f’f’3f’™f’ĢĢ’’Ģ™™™3™™™™Ģ™™33™f™3Ģ™’™f™f3™3f™f™™fĢ™3’™™3™™f™™™™™Ģ™™’™Ģ™Ģ3fĢf™Ģ™™Ģ̙̒™’™’3™Ģf™’™™’Ģ™’’Ģ™3ĢfĢ™ĢĢ™3Ģ33Ģ3fĢ3™Ģ3ĢĢ3’ĢfĢf3™ffĢf™ĢfĢ™f’̙̙3Ģ™fĢ™™Ģ™ĢĢ™’ĢĢĢĢ3ĢĢfĢĢ™ĢĢĢĢĢ’Ģ’Ģ’3™’fĢ’™Ģ’ĢĢ’’Ģ3’f’™Ģ3’33’3f’3™’3Ģ’3’’f’f3Ģff’f™’fĢĢf’’™’™3’™f’™™’™Ģ’™’’Ģ’Ģ3’Ģf’Ģ™’ĢĢ’Ģ’’’3Ģ’f’’™’’Ģff’f’ff’’’ff’f’’’f!„___www†††–––ĖĖ˲²²×××ŻŻŻćććźźźńńńųųųšū’¤  €€€’’’’’’’’’’’’ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ"ܔš”š"š”š”š"ÜÜÜÜÜÜܒ“’ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜzššz”zšzÜÜÜÜÜÜܒtnmÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ”"ܔšut”ÜÜÜÜÜÜn“nÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜܔšÜLou¼’ÜÜÜÜÜÜt’ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜܔš”š††††††ÜÜÜÜÜܒ“ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜz”z†††††††ÜÜÜÜÜܓ’ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜܔ𔆒¼Ć¼’’’ÜÜÜܓ’“ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜzu†¼¼¼¼¼¼’n’Üܓ’tÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜܔu†¼Ć¼’¼’’’nn“’’ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜܼ¼††¼¼¼¼¼¼’ns“’y’ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ܆†††“¼’¼Ć¼’’’nÜmn“’ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ܆††††¼Ć¼¼¼¼¼’nÜÜÜÜnt’“ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜܼ’’’¼’¼’¼’¼’ĆÜÜÜÜÜܒ“’ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜܼ¼¼’¼¼¼¼¼¼¼¼¼’ÜÜÜÜÜÜn’nÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜܒ¼“¼’¼™¼’¼Ć¼’mnmKmnmKmnmKÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜܼ¼¼’¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼mnmnmnmnmnmÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜܼ“¼’’’¼’¼Ć¼’¼’¼’¼Ć¼’¼’oEnÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜܼ¼¼¼’¼¼¼¼¼¼¼¼ģ¼¼¼¼¼¼’¼’¼ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜܼ’¼“¼’¼“¼’¼Ć¼’¼“¼’’ü’¼’¼ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜܼ™¼¼¼’¼ė¼™¼DJD¼¼¼™¼¼¼¼¼¼¼ĆÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜܒ¼’¼’¼’ėėDEDEn’ė’¼’¼’¼’¼’¼ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜė¼¼¼¼ėėDmDmK¼nėė¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜėėėėDJEDKm’½’mųģų¼’¼“¼’¼Ć¼’ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜėmDJDmn¼Ć¼½¼Kģ¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜEDDmEn’¼’½’mÜģ’¼’¼“¼’¼’¼’’ĆÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜDmDmnmK¼½¼¼¼noLÜÜģ¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜmEmKm’½’¼šuut”š”쒼ü’¼Ć¼’¼ĆĆÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜĆmn¼¼¼¼¼Ütut”z”z”ģģ¼™¼¼¼¼¼¼¼ĆÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ’’’Ü’Ü’’’Ü’ÜÜÜÜ’’’’’’’’’’Ü’’Ü’’’’Ü’’’’’Ü’’’’’ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜܚ¼š¼EÜÜÜÜÜܚ”u”š”ģ’¼’¼’¼’¼’¼ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ’Ü’Ü’Ü’ÜÜÜÜÜÜÜÜ’ÜÜ’Ü’Ü’ÜÜ’Ü’ÜÜ’Ü’Ü’Ü’ÜÜ’ÜÜ’ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜzutuyšz”¼¼¼uzšz¼¼¼ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ’Ü’Ü’Ü’ÜÜÜÜÜÜÜÜ’ÜÜÜÜ’Ü’ÜÜ’Ü’ÜÜ’ÜÜ’’Ü’ÜÜ’ÜÜ’ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜܚutSouš”š”¼”š”š”šÜ¼ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ’Ü’Ü’Ü’ÜÜÜÜÜÜÜÜ’ÜÜÜÜ’Ü’’Ü’Ü’ÜÜ’Ü’Ü’Ü’’Ü’ÜÜ’ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜzutuÜutuzšzLošz”zšÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ’’ÜÜÜ’’ÜÜÜÜÜÜÜÜ’ÜÜÜ’’’’Ü’ÜÜÜ’’’ÜÜ’ÜÜ’Ü’ÜÜÜ’ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜܔu”Üܼķu”š”šKš”š”ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ’’ÜÜÜ’’ÜÜÜÜÜÜÜÜ’ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ’ÜÜÜÜÜ’ÜÜÜÜÜ’ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜut”ÜÜÜuģut”zšz”zšzÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ’’’ÜÜÜ’’’ÜÜÜÜÜÜ’’’ÜÜÜ’ÜÜÜÜÜÜÜÜ’’ÜÜÜÜ’’ÜÜÜÜ’’ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜܔt”uÜÜÜuĆt”š”š”u”š”ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜz”tuÜÜÜu¼ųtuz”z”z”ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜQš”šÜÜÜu’¼”t”š”š”šÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜܼܚzÜÜÜÜu¼¼tuzšz”zÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜuu¼’uuš”šÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜܼ¼ut”zÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜKųķ’ķķÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜut”z¼¼¼ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜuš”š”šÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜt”z”uzÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜܔš”ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜyšzzÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜܔÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ’’ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ’ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ’’’ÜÜÜ’ÜÜÜ’’’ÜÜ’’’Ü’’ÜÜÜÜ’’’’’’ÜÜÜ’’’’Ü’’ÜÜ’’’’’’Ü’’’’’Ü’’ÜÜÜÜ’’’’’’’Ü’’ÜÜÜÜÜ’’’’ÜÜÜÜ’’ÜÜÜ’’’ÜÜ’’’Ü’’Ü’’Ü’’ÜÜÜ’’Ü’’’ÜÜÜÜ’ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ’ÜÜÜÜ’ÜÜ’ÜÜÜ’ÜÜ’ÜÜ’ÜÜÜÜÜÜ’ÜÜÜÜ’Ü’ÜÜ’Ü’ÜÜ’ÜÜ’ÜÜ’Ü’ÜÜÜ’Ü’ÜÜ’ÜÜ’ÜÜ’ÜÜ’ÜÜ’ÜÜÜÜÜ’ÜÜÜÜ’ÜÜ’ÜÜ’Ü’ÜÜÜ’ÜÜ’ÜÜ’ÜÜ’Ü’ÜÜ’ÜÜ’ÜÜÜ’ÜÜÜÜ’Ü’ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ’ÜÜÜ’’ÜÜ’ÜÜÜ’ÜÜ’ÜÜ’Ü’’’ÜÜ’ÜÜÜÜÜÜ’ÜÜ’Ü’ÜÜÜÜÜ’ÜÜ’Ü’ÜÜÜ’Ü’ÜÜÜÜÜ’ÜÜ’ÜÜ’ÜÜ’ÜÜÜÜ’ÜÜÜÜÜ’ÜÜ’ÜÜÜÜ’ÜÜÜ’ÜÜ’ÜÜ’ÜÜ’Ü’ÜÜÜÜÜ’ÜÜÜ’ÜÜÜÜ’Ü’ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ’ÜÜ’Ü’ÜÜ’ÜÜÜ’ÜÜ’ÜÜ’ÜÜÜÜÜÜ’ÜÜ’ÜÜÜ’ÜÜ’Ü’ÜÜÜÜÜ’ÜÜ’Ü’ÜÜÜ’Ü’’’’ÜÜÜ’’’ÜÜ’ÜÜ’ÜÜÜÜ’ÜÜÜÜÜ’ÜÜ’’’’Ü’ÜÜÜ’ÜÜ’ÜÜ’ÜÜ’Ü’’’’ÜÜ’ÜÜÜ’ÜÜÜ’ÜÜ’ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ’ÜÜ’Ü’ÜÜ’ÜÜÜ’ÜÜ’’Ü’ÜÜÜÜÜÜ’’’’ÜÜÜ’ÜÜ’Ü’ÜÜ’ÜÜ’ÜÜ’Ü’ÜÜ’’Ü’ÜÜ’ÜÜ’ÜÜ’ÜÜ’’Ü’ÜÜÜÜ’ÜÜÜÜ’’’Ü’ÜÜ’Ü’ÜÜÜ’ÜÜ’’Ü’’Ü’Ü’ÜÜ’ÜÜ’ÜÜÜ’’ÜÜ’ÜÜÜ’ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ’Ü’ÜÜ’ÜÜÜ’’’ÜÜ’’Ü’ÜÜÜÜÜÜÜ’ÜÜ’ÜÜ’’Ü’’ÜÜ’’’ÜÜ’Ü’’ÜÜ’’Ü’ÜÜ’’ÜÜÜÜ’’ÜÜ’’Ü’ÜÜÜÜÜ’ÜÜÜÜÜÜÜÜÜ’’ÜÜÜ’’’ÜÜ’’Ü’ÜÜ’ÜÜÜ’’ÜÜ’’’Ü’’Ü’’’’Ü’’’ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ’’ÜÜÜ’ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ’ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ’ÜÜÜÜÜÜÜÜ’ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ’ÜÜÜÜÜ’ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ’ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ’ÜÜÜÜ’ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ’ÜÜÜ’ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ’ÜÜÜÜÜÜÜÜ’ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ’ÜÜÜ’’ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ’ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ’’ÜÜÜ’’’ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ’’’’’’ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ’’ÜÜ’ÜÜÜÜ’’ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜ’’’Ü’ÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜÜś-ü-&TNPP &’’’’etry×XÓŗDGlobal model of Spherical Geometry×>Óŗ*Historical background×>Óŗ*Historical backgroundņ/Č 0ŅÕL·DTimes New Romanp5ŗ|ŚdŚģ 0|ŚWo 0¤ €`’’’’„ .©  @£n’ż?" dd@’’ļ’’’’’’  @@``€€ €šxšx8X   µ  ?š„š$’É2š$śƒ/uRó†×e®b„ķ’I@É2š$Ēņąž¶; 9XˆrqexĄ×’ńI@Éc š$ƒæĄ’€ń ’’™Ö“’f™’’’’’f’Ģ@ń’’’’’÷šó€Š)ŗuģŹš;2NĶÉŹš;śgžż4AdAdģ 0pڦ’’’.’’’pūppū@ <ż4!d!d® 0,Ž\6ŗ<ż4dddd® 0,Ž\6ŗ’ <ż4BdBdœŚ. 0,Žˆ¦Šžŗ___PPT9‹€äÓ äÓäÓäÓ?Ł Ś%š‰óŸØ&Non-Euclidean Geometry M. Lindahl”4'6óŸØNon-Euclidean Geometry”Ÿ <Objectives 1. To question Euclid s Parallel Postulate 2. To examine the properties of Spherical Geometry 3. To examine the properties of Hyperbolic Geometry”$Ÿ ”óŸ 6Euclid s Parallel Postulate”ó  óŸØNew geometries arise”ŸØ™There are TWO possibilities: EITHER (1) there are no parallel lines through the point, OR (2) there are more than one parallel line through the point.”ššóŸØ"Possibility #1: Spherical Geometry”##ŸØŻThere are no parallel lines. A point lies on the surface of a Euclidean sphere. A line is an arc of a great circle whose center is the center of the sphere. The sum of the angles of a triangle is greater than 180 degrees.”0Ž ŅóŸØ#Possibility #2: Hyperbolic Geometry”$$ŸØMore than one line can be drawn through a point parallel to a line. A point lies on the interior of a Euclidean circle (Poincare Model). A line is represented as a circle orthogonal (90 degrees) to a Euclidean circle. The sum of the angles of a triangle is less than 180 degrees.”&Z  Ŗx˜ó ŸØ!Properties of Spherical Geometry”""Ÿ Let s take a look at some of the unique properties of Spherical Geometry. Historical background Global model of Spherical Geometry”2J96 Dņó° 0ßJ_ņó° 0ß`‚ó ŸØ"Properties of Hyperbolic GeometryŸØ¤The differences between Euclidean and Hyperbolic Geometry are difficult to describe and are better seen: Historical background Poincare model of Hyperbolic Geometry”:„ ’’’ž uŖ2iņó° 0ßi~ņó ° 0ß¤ó ŸŖ ó  ŸØ&Applications of Non-Euclidean Geometry”'' ’žŸØ„Spherical Geometry Pilots and sailors use spherical geometry to navigate the Earth. Mapmakers use it to produce their projections. ”(…oĢž Ÿ  Hyperbolic Geometry Einstein s theory of General Relativity makes use of hyperbolic geometry to describe the curvature of space-time.” †r’fžźīļ€ ĖšĆ0š4šaš( š š4šXB š4 ƒ š0DæĄ’ŠŃ’šĄšXB š4 ƒ š0DæĄŠŃ’šŠš“¢ š4 ƒ š0€ä…æƒæĄ’ššĄ €  š3ŸØP”š¢ š4 £ š<€ä……‡æƒæĄ’šš š1ŸØm”šÉ¢ š4 ƒ š0€Ō…æƒæĄ’šąPš šiŸØ' Assuming that this is not the case,”&($֓ž$(֓žšX² š4 ƒ š0AƒæĄ’?š  (šB š4 s š*“ŽŸ‹”޽hæ’ ?š ’’’€€€Ģ™33ĢĢĢ’²²²rVµ œŹõ ķ2µæĪ t